İçeriği Paylaş:

Beklenen Değer Hesapları

Beklenen Değer Hesapları – II Bir X  kesikli rasgele  değişkenin f(xi) olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiş ise  E(X) ile gösterilen beklenen değerinin aşağıda verildiği şekilde hesaplandığı önceki konularda gösterilmişti.1Eğer  X  sürekli  bir  rasgele  değişken  ise  bu  durumda  beklenen  değer şu şekilde hesaplanır.2Örnek:X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu3olarak verilmiştir. X rastgele değişkeninin beklenen değerini bulunuz.1Kesikli Rastgele Değişkenin VaryansıBir X rastgele değişkeninin E(X) beklenen değeri X’in ortalama değeri olup bütün olasılık dağılımını özetleyen bir sayıdır. Varyans kavramı ise X’in bu ortalama değerden uzaklaşma veya sapma ölçüsüdür. Yani rastgele değişkenin nasıl dağıldığının ölçüsüdür. Varyans ne kadar küçük olursa birim değerleri birbirine o kadar yakın olur.X kesikli  rassal  değişkenin   ortalaması E(X) =    ise X rastgele değişkenin varyansı,Var (X) veya  aşağıdaki şekilde tanımlanır.2E(X2)=X12 . f(x1)   +X22. f(x2)+  …..Burada olduğu unutulmamalıdır.X, ortalamalı kesikli ya da sürekli bir rassal değişken olsun. X’in standart sapması, varyansın kareköküdür ve aşağıdaki eşitlikte verilmiştir.1Örnek:Bir para üç kez atıldığında gelebilecek turaların sayısı X olsun. Aşağıdaki tabloda X’inolasılık  fonksiyonu  ve  ile birlikte verilmiştir. 

X=x f(x) x.f(x) [x-E(X)]2 [x-E(X)]2.f(x)
0 1/8 0 (0-3/2)2=9/4 9/32
1 3/8 3/8 (1-3/2)2=1/4 3/32
2 3/8 6/8 (2-3/2)2=1/4 3/32
3 1/8 3/8 (3-3/2)2=9/4 9/32
E(X)= 12/8=3/2  =24/32=3/4

Böylece,2 Teorem:X,   E(X)=     ortalamalı ve  Var(X)=       varyanslı bir rasgele değişken ise3dirİspat:1Örnek:Bir   para   üç   kez   atıldığında   gelebilecek   turaların   sayısı   X   olsun.   X rasgeledeğişkeninin  varyansını hesaplayınız. 

X=x f{x)=P(X=x) x.f(x) x2.f(x)
0 1/8 0 02.1/8=0
1 3/8 3/8 12.3/8=3/8
2 3/8 6/8 22.3/8=12/8
3 1/8 3/8 32.1/8=9/8
E(X)=3/2 E(X2)=24/8=3

2Örnek:X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir. X’in varyansını bulunuz.3Çözüm:X rastgele değişkeni kesikli olduğuna göre1Elde edilir.Varyansın Özellikleria bir sabit sayı X bir rastgele değişken olmak üzere 

  1. Var(a) = 0

 

  1. Var(X+a) = V(X)

 

  1. Var(aX) = a2V(X)

 

  1. Xi ve Yi bağımsız rasgele değişkenler olmak üzere2örnekVar(aX)  =  a2V(X)  olduğunu gösteriniz.3Örnek:X rasgele değişkenin varyansı 0.50 olsun.a)2Xb)X/2rasgele değişkenlerinin varyanslarını bulunuz.Çözüm:Var(aX) =a2Var(X) olduğundan1Örnek: Var(X+b) = V(X) olduğunu gösteriniz.2X rasgele değişkenin varyansı 5 olsun.a)X+3
    1. b) X-6 rasgele değişkenlerinin varyanslarını buluruz.Çözüm:1Örnek:X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu2Olarak veriliyor.E(X),    E(X2), Var(X) hesaplayınız.Çözüm:31Buradan,2Özet3OrtalamaVaryansVaryansStandard sapma

İçeriği Paylaş:
İlginizi Çekebilir
Yorum Yapılmamış

Henüz Hiç Yorum Yapılmadı..

Yorum Yaz

Beklenen Değer Hesapları

Olasılık ve İstatistik

13/11/2016 | Yorum Yok | 68 | Mustafa Küçükakarsu