İçeriği Paylaş:

Kovaryans ve Korelasyon

Kovaryans ve KorelasyonKovaryans X ve Y’nin birbiriyle nasıl ilişkiye sahip olduğunu gösterir. X ve Y gibi iki rastgele değişkenden biri artarken veya azalırken diğeri de buna bağlı olarak artıyor veya azalıyorsa bu iki rastgele değişken bağımlıdır denir. Bağımlılığın iki önemli ölçüsünden biri kovaryans diğeri korelasyondur.X ve Y iki farklı rasgele değişken olmak üzere ve değişkenlerin ortalamaları ve olmak ise  X ve Y arasındaki kovaryans değeri şu şekilde hesaplanır.1ve2Olarak kovaryansı hesaplamak mümkündür.Cov(X, Y) = Cov (Y, X)Olacağı açıktır. Eğer 2 değişken beraber hareket ediyorsa kovaryans pozitif, farklı hareket ediyorsa negatiftir.X ve Y istatistiksel olarak birbirinden bağımsız iseler E(XY)=E(X).E(Y) olacağından, bu durumda Cov(X,Y)=0 bulunur. Bunun tersi doğru değildir. Yani Cov(X,Y)=0 olması X ve Y’nin bağımsızlığını gerektirmez.KorelasyonX ve Y gibi iki rastgele değişken arasındaki ilişki korelasyon katsayısı ile3şeklinde   verilir.  Korelasyon  katsayısı;  dir.     =  0  olması  X  ve  Y arasında  doğrusal  ilişki olmadığını gösterir,       < 0 olması ters yönde bir ilişkiyi> 0 olması ise aynı yönde     ilişkiyi gösterir.         = -1, ters yönde tam bir   ilişkiyi,=+1,  aynı  yönde  tam  bir  ilişkiyi  gösterir.  Sıfırdan  uzaklaştıkça  ilişkinin   derecesigüçlenir.    Ayrıca  dir.    Örnekten  elde  edilen korelasyon katsayısı şeklinde gösterilecektir.Örnek:Aşağıda bir olasılık tablosu verilmiştir. Cov(X, Y) değerini elde ediniz.

P(X = x,Y = y) y = 0 y = 1 y = 2 P(x)
x = 0 0,02 0 0 0,02
x=1 0,36 0,08 0 0,44
x = 2 0,05 0,40 0,09 0,54
P(y) 0,43 0,48 0,09 1,00

4 =     (0) (0) (0,02) + (0) (1) (0) + (0) (2) (0) + (1) (0) (0,36)+ (1) (1) (0,08) + (1) (2) (0) +(2) (0) (0,05) + (2)(1) (0,40)+ (2) (2) (0,09) = 1,24E[X] = (0) (0,02) + (1) (0,44) + 2 (0,54) = 1,52E[Y] = (0) (0.43) + (1) (0,48) + (2) (0,09) = 0,66  elde edilir.BöyleceCov(X, Y) = E[XY] – E[X] E[Y] = 1,24 – (1,52) (0,66) = 0,24Örnek:X ve Y’nin ortak olasılık dağılımı aşağıdaki tablodaki gibi verilsin. E(X), E(Y), E(XY) ve Cov(X,Y)’yi bulunuz.

P(X = x,Y = y) y=-2 y=-1 y=1 y=2 P(x)
X=1 0 1/4 1/4 0 2/4
X=4 1/4 0 0 1/4 2/4
P(y) 1/4 1/4 1/4 1/4 1

Çözüm:Tablodan       E(X)=5/2,       E(Y)=0       ve       E(XY)=0 bulunur.Böylece Cov(XY)=0 dır.Örnek: X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu1olarak verilsin. Cov(X, Y) değerini bulunuz.Çözüm:2BöyleceCov(X, Y) = E[XY} – E[X] E[Y]3olarak bulunur.Örnek:X ve Y iki rastgele değişken olup olasılık yoğunluk fonksiyonu1olarak verilmiştir. X ve Y arasındaki korelasyon katsayısını bulunuz.2Cov(X, Y) = E[XY]- E[X] E[Y]3Buradan1elde edilir.Örnekten elde edilen korelasyon katsayısıÖrnekten elde edilen  korelasyon katsayısı r veya şeklinde gösterilecektir.iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin derecesi, u r ” simgesiyle gösterilen korelasyon katsayısıyla ölçülür. Korelasyon katsayısı iki değişkenin değişimlerinde, ne dereceye kadar uygunluk olduğunu belirler. Fakat hiç bir şekilde neden -sonuç ilişkisi kurmaz.Aslında bir çok durumda, modelin değişkenlerinden hangisinin bağımsız değişken, hangisinin bağımlı değişken olduğu bilinmez, işte bu gibi durumlarda, ilişkinin derecesinin belirlenmesinde oransal bir ölçü olan, “korelasyon katsayısından yararlanılır.Korelasyon katsayısının alabileceği en küçük değer-1, en büyük değerse +1 olur, başka bir anlatımla korelasyon katsayısı r,-1 <  r <+1arasında değer alır.Korelasyon katsayısının işareti pozitifse, değişkenlerden birinin değeri artarken (azalırken) diğerinin de arttığını (azaldığını) gösterir. Korelasyon katsayısının işareti negatifse, değişkenlerden birinin değeri artarken (azalırken) diğerinin değerinin azaldığını (arttığını) gösterir. Yani ters yönlü bir ilişki söz konusudur.r = 0 olduğundaysa değişkenler arasında doğrusal bir ilişkinin bulunmadığı söylenebilir.r ‘nin +l’e eşit olması, değişkenler arasında pozitif ve tam doğrusal bir ilişkinin  varlığını ortaya koyar.r ‘nin -l’e eşit olmasıysa, değişkenler arasında negatif ve tam doğrusal bir ilişkiyi belirler. Değişkenler arasındaki ilişki kuvvetlendikçe ±1’e, zayıfladıkça da sıfıra yaklaşan bir korelasyon katsayısı elde edilir.Korelasyon Katsayısı 1Örnek:Öğrencilerin matematik dersinde ara sınavdan aldıkları notlarla dönem sonu sınavından aldıkları notlar arasında bir ilişki olduğu düşünülmektedir. Bu ilişkinin yönünü ve derecesini belirleyiniz.Matematik Dersi Ara Sınav Notlan XMatematik Dersi Dönem Sonu Sınav Notları45                                       8354                                       7855                                       8068                                       7230                                       4548                                       26 Toplam=300                      Toplam=384                            1Olarak hesaplanır.Öğrencilerin, matematik dersiyle ilgili, ara sınav notlarıyla dönem sonu sınav notları arasında, pozitif yönde, kuvvetli olmayan bir ilişki söz konusudur.

İçeriği Paylaş:
İlginizi Çekebilir
Yorum Yapılmamış

Henüz Hiç Yorum Yapılmadı..

Yorum Yaz

Kovaryans ve Korelasyon

Olasılık ve İstatistik

14/04/2017 | Yorum Yok | 495 | Mustafa Küçükakarsu