İçeriği Paylaş:

Moment hesapları

Moment hesaplarıBir rastgele değişkenin beklenen değer (aritmetik ortalama) ve varyansından başka önemli karakteristiklerinden biri de çeşitli dereceden momentleridir.Terimlerin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan sapmalarının değişik kuvvetlerinin beklenen değerine moment adı verilir. Tanım: a bir gereci sayı ve r pozitif tamsayı olmak üzere E[(x-a)]  değerine X rastgele değişkeninin a civarında r inci dereceden momenti adı verilir. X’in kesikli ya da sürekli olmasına göre bu tanım aşağıdaki biçimde formüle edilir.1burada a = 0 olduğunda X rastgele değişkenin 0 civarındaki r inci momenti2Momentlerin var olabilmesi için formüldeki toplam ve integralin tanımlı olması gerekir.1Elde edilir.Momentler Arasındaki İlişkiSıfır civarındaki momentlerin hesaplanması ortalama civarındaki momentlerin hesaplanmasına göre daha kolaydır. Bu nedenle her iki tür momentler arasındaki ilişkileri ortaya koymak yararlı olacaktır.Tanım:2dirTeoremin ispatı verilmeyecektir. Fakat bu teorem kullanılarak aşağıdaki sonuçlara varılır.3Elde edilir.X rasigele değişkeninin simetrik olmama veya   çarpıklık katsayısı        İle gösterilir ve ortalamaya göre 3 üncü momentin, standart sapmasının küpüne oranı ile elde edilir.1=0  ise  olasılık   dağılımı  simetriktir,  ise   dağılım  sağa  doğru  ise dağılım sola eğiktir.X rastgele değişkeninin ortalamaya göre 4 üncü momentinin standart sapmasının 4 üncü kuvvetine oranına basıklık katsayısı denir.2ile  gösterilir.  Buna  göre ya da 3 e yakın değerler alıyorsa dağılım   normaldirdenir.ise dağılım sivrileşir,  ise dağılım basıktır.Örnek:

  1. 2, 4, 7, 9, 10, 11 sayılarının sıfır civarındaki ilk 3 momentini
  2. Aritmetik ortalama civarındaki ilk 3 momenti

Çözüma)3b)1Moment Çıkaran FonksiyonuBir rastgele değişkenin sıfır civarındaki momentlerini hesaplamada moment çıkaran fonksiyondan yararlanılabilir. Bu yönteme göre rastgele değişkenin olasılık fonksiyonundan yararlanarak yeni bir fonksiyon belirlenir. Elde edilen bu  fonksiyondan yararlanılarak momentler hesaplanır.2fonksiyonu varsa bu fonksiyona eğer  beklenen değer -h2  <  t < h2  aralığında her t değeri için varsa3 şeklinde tanımlanır. Mx(t) yerine sadece M(t) kullanılacaktır, t = 0 olduğunda fonksiyon 1 e eşit olur.Örnek:X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu1şeklinde verilmiştir. X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu bulunuz.2Olarak bulunur.Örnek:1olduğuna göre X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.Çözüm:2Örnek:X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak verilmiştir. X’in moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.1Çözüm:2Örnek:X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu3olduğuna göre moment çıkaran fonksiyonu bulunuz.4Moment Çıkaran Fonksiyonun ÖzellikleriDikkat edilmesi gereken husus her dağılım bir moment çıkaran fonksiyona sahip değildir.Özellik 1. Moment çıkaran fonksiyonun birinci türevinde t = 0 konursa1elde edilir. E(X), X rastgele değişkeninin ilk momentidir.Moment çıkaran fonksiyonun İkinci türevinde t = 0 konursa2bulunur. E(X2), X rastgele değişkeninin ikinci momentidir.Moment çıkaran fonksiyonun n inci türevi alınır t = 0 konursa3elde edilir. E(X”), X rastgele değişkeninin n inci momentidir.Özellik 2: X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu Mx(t) olsun, a ve b sabit birer sayı olmak üzereY = aX+b rastgele değişkeninin moment  çıkaran fonksiyonu olur.Özellik 3: Moment çıkaran fonksiyonlar tektir. Yani iki rastgele değişken aynı moment çıkaran fonksiyona sahipse aynı olasılık dağılımına sahip oldukları anlamına gelir. Farklı moment çıkaran fonksiyona sahip iseler farklı dağılıma sahip oldukları söylenebilir.Örnek:X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu1olarak verilmiştir. X in birinci ikinci ve üçüncü momentlerini bulunuz.2Örnek:Aşağıda  bir X kesikli rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu verilmiştir.P(x)=x/8      x=1,3,4P(x)=0    diğer durumlarda

  1. X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu
  1. Moment çıkaran fonksiyonu kullanarak ilk iki momenti3

Bu fonksiyonda t= 0 konursa M(0) = 1 olur.4Örnek:X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu5Şeklindedir.

  1. X’in moment çıkaran fonksiyonunu
  1. Bu fonksiyon kullanarak X rastgele değişkeninin beklenen değer ve varyansını bulunuz.1parçalı  integral   yöntemi   kullanılır, 2  olarak  alınır. Buradan3Bulunur.4buradanVar(X) = E(X2) –( E(X))2 = 6-(2)2 = 2  

İçeriği Paylaş:
İlginizi Çekebilir
Yorum Yapılmamış

Henüz Hiç Yorum Yapılmadı..

Yorum Yaz

Moment hesapları

Olasılık ve İstatistik

12/08/2017 | Yorum Yok | 286 | Mustafa Küçükakarsu