İçeriği Paylaş:

Normal Dağılımın Standartlaştırılması

  Normal Dağılımın StandartlaştırılmasıGerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal dağılım göstermektedir. Böylesi durumlarda Ek 1’de verilen tablonun kullanılabilmesi için, normal dağılım gösteren sürekli bir rassal değişkenin, bir dönüştürme neticesinde standart normal dağılım gösteren x değişkeninin, standart normal dağılım gösteren z rassal değişkenine dönüştürülmesi yapılacaktır ve bu dönüştürmeye standartlaştırma adı verilmektedir.x değerinin z değerine dönüştürülmesix normal dağılım gösteren rassal bir değişkenin herhangi bir  değerinin z değeri cinsinden ifadesinde1formülünden yararlanılmaktadır. Burada ve , sırasıyla ilgili normal dağılımın ortalama ve standart sapmasıdır. Standartlaşmada önce x rassal değişkeninin ortalama ve standart sapması hesaplanmakta, daha sonraysa x değerinden ortalama çıkartılarak, fark değeri standart sapmaya bölünmektedir.Örnek 6: x, ortalaması 50 ve standart sapması 10 olan bir normal dağılım göstermektedir. Standartlaştırma formülünden yararlanarak aşağıdaki x değerlerini z değerlerine dönüştürmektedir.

  1. x = 55
  2. x = 35 Çözüm:

a)2 olarak bulunur. Aşağıdaki şekilden de görüleceği gibi x rassal değişkeninin dağılımıyla z rassal değişkeninin dağılımı arasında, standart sapmalar açısından fark yoktur. Çünkü x dağılımında x=55 noktası         ortalamasının 1/2 standart sapma sağında iken, z=0.5 değeri yine ortalaması sıfır ve standart sapması bir olan z standart normal dağılımında ortalamanın 1/2 standart sapma sağındadır.b)3olarak bulunur. Bulunan z değeri gibi, verilmiş olan x=35 değeri de ortalamadan küçük olduğu için ortalamanın solunda bir noktadır. Ancak x değeri negatif olmadığı halde z değeri negatiftir. Bunun nedeni de z dönüştürmesinde dağılım ortalamasının sıfır noktasına taşınmış olmasıdır.1Örnek 7: x sürekli rassal değişkeni 25 ortalama ve 4 standart sapmayla normal dağılmaktadır. Aşağıda verilen noktalar arasındaki alanı bulunuz.

  1. x = 25 ve x = 32 arası
  2. x = 18 ve x = 34 arası

 Çözüm:  Verilen normal dağılımda    dür.

  1. Burada ilk adım, verilmiş olan x = 25 ve x = 32 değerlerinin standart normal z değerlerine dönüştürülmesidir.2

İkinci   adım  ile noktaları arasındaki alanın Ek 1’de verilmiş olan tablodan bulunmasıdır. Bu değer,3olarak bulunur.1

  1. x = 18 ve x = 34 değerleri de yine standart normal z değerlerine dönüştürülmesidir.2

Bu değer,3olarak bulunur.1Normal Dağılım UygulamalarıAşağıda normal dağılımın gerçek verilerle uygulanması konu edilecektir.Örnek 8: ZENGİN ülkesinde aile başına düşen gelir 44.483 dolar ortalama ve 10.500 dolar standart sapmayla normal dağılım göstermektedir. Bu ülkeden rassal seçilen bir ailenin 30.000-50.000 dolar arasında gelire sahip olma olasılığını bulunuz.Çözüm:  x  rassal  değişkeni,   dolar değerleriyle normal dağılmaktadır. Aşağıdaki şekilden görüleceği gibi verilen sınır değerleri,       ortalamanın  solunda ve sağında   yer almaktadır. Ortalamayla   sınır    değerleri   arasındaki bu olasılıklar (alan), dönüşümüyle elde edilir.Bulunan   değerleri kullanılarak standart normal dağılım tablosundan gerekli olasılık değerlerine ulaşılır ve sonuç bulunur.1Sonuç olarak rassal seçilen bir ailenin gelirinin 30.000-50.000 dolar arasında olma olasılığı %61.81 dir.2Örnek 9: Oyuncak üreten bir firmada, bir işçinin, oyuncak bir yarış otomobilini monte etme süresi; 55 dakika ortalama ve 4 dakika standart sapmayla normal dağılmaktadır. İşyerinin saat 17.00’de kapandığı bilindiğine göre, saat 16.00’da montaja başlayan bir işçinin kapanış saatine kadar işi bitirme olasılığını bulunuz.Çözüm: Oyuncak bir yarış otomobilinin  montaj süresi;dakikayla normal dağılım göstermektedir. Aşağıdaki şekilden de görüleceği gibi, burada istenen, montajın en  çok 60 dakikada bitmesidir. Standart normal dağılım tablo değerinden yararlanabilmek için gerekli   değeri,1olarak bulunduktan sonra istenen olasılık hesaplanır. Bunun için önce ortalamanın  solundaki  tüm  alan        ve ortalamanın sağındakie  kadar olan alan toplanır ve sonuç değeri,2elde edilir.3

İçeriği Paylaş:
İlginizi Çekebilir
Yorum Yapılmamış

Henüz Hiç Yorum Yapılmadı..

Yorum Yaz

Normal Dağılımın Standartlaştırılması

Olasılık ve İstatistik

9/08/2017 | Yorum Yok | 153 | Mustafa Küçükakarsu