noimage

İçeriği Paylaş:

Rasgele Değişkenler

Rasgele DeğişkenlerNümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değiĢken denir.Değeri bir deney sonucuyla belirtilen bir değiĢkene rasgele değiĢken denir. Çoğu zaman deneyin kendisi ile değil deneyin rassal sonucu ile ilgileniriz. Deneylerin sonuçları gerçel değerlerle ifade edildiğinde bu sonuçlar S den gerçel sayılar kümesine (R) bir fonksiyon olarak düĢünülebilir ve bu fonksiyonlara rassal değiĢkenler denir.X  :  S       R. Yani, X rassal değiĢkeni S’ den yada S’ nin bir alt kümesinden R’  ye bir fonksiyondur.Temelde iki çeşit random değişken vardır.sürekli(continuous) rassal değiĢkenKesikli(discrete) rassal değiĢkenSürekli Rasgele DeğiĢkenX bir rasgele değiĢken olsun. X bir aralıkta ya da birden çok aralıkta her değeri alabiliyorsa X’e sürekli rasgele değiĢken denir.Örnek :Belli bir bileĢiğin içindeki alkol yüzdesi belli bir aralıktaki her gerçel değeri alabileceği için sürekli rasgele değiĢkendir.Örnek;x random değiĢkeni(2, 6.5) aralığındaki her değeri alabiliyorsa x sürekli random değiĢkendir.2016-03-19_204258Kesikli Rasgele DeğiĢkenX  bir  rasgele  değiĢken  olsun.  X’in  alabileceği  değerlerin     sayısı  sonlu     veya sayılabilir   sonsuzlukta   ise   X’e     kesikli rasgele değiĢken denir.Örnek:Bir zarın atılması deneyini düĢünelim. Bu deney için örnek uzay:S={1,2,3,4. 5. 6} dır.Bu örnek uzayda sonlu sayıda eleman (örnek nokta) vardır, buörnek  uzay üzerinde  tanımlanan  X  rasgele  değiĢkeni kesikli rasgele değiĢkendir.Örnek:Bir paranın iki kez atılması deneyini düĢünelim. Bu deney için örnek uzay:S= {YY, TY, YT, TT} dir.X rasgele değiĢkeni “Bulunan turaların sayısı” olsun. Böylece X’in alabileceği değerler 0,1 ve 2’dir. O halde X sonlu sayıda değer aldığından kesikli rasgele değiĢkendir.Bir parayı 5 kez attığımızda tura gelme sayısı x random değiĢkeni olsun. Bu durumda x in alabileceği değerler x=0,1,2,3,4,5 olabilir. Yani tura hiç gelmeyebilir (x=0),….,5 atıĢta da tura gelebilir (x=5)5 dakikada petrol istasyonuna gelen araç sayısı200 müĢteriden 30 yaĢ üzeri olanların sayısıBir haftada yapılan satıĢ sayısıKesikli rassal değiĢkenlere örnek olarak verilebilir.Örnek:Bir paranın iki kez atılması deneyini düĢünelim. Bu deneyde ‘Bulunan turaların sayısı” X rasgele değiĢkeni olsun. Bu deney için örnek uzay,S={YY,  YT, TY TT}    dir.X’in alabileceği değerler 0, 1 ve 2’ dir. X’in x değerini alması olasılığını f(x) ile göstereceğiz.F(x)=P(X=x)    dir.

X=x 0 1 2
f(x)=P(X=x) 1/4 2/4 1/4

f(0)=P(X=0)=1/4 f(1)=P(X=1)=2/4 f(2)=P(X=2)=1/4Kesikli Rasgele DeğiĢkenin Olasılık FonksiyonuX, sonlu sayıdaki x1, x2, …, xN değerlerini f(x,)=P(X=x,)1 i=1, 2,…, N olasılıkları ile alabilen kesikli rasgele değiĢken olsun. Bu durumda aĢağıdaki koĢulları sağlayan f(x) fonksiyonuna X’in olasılık fonksiyonu denir.

  1. f(x) >   tüm x ler için
  2. 1Kesikli Rasgele DeğiĢkenin Dağılım FonksiyonuX rasgele değiĢkeninin bir tek x değerine eĢit olması olasılığı ile ilgilendiğimiz gibi, x’e eĢit ya da küçük olması olasılığı ile de ilgileneceğiz. Bu toplamalı olasılığa X rasgele değiĢkeninin kümülatif (birikimli, eklemeli) dağılım fonksiyonu yada kısaca dağılım fonksiyonu denir.Bir X rasgele değiĢkeninin dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir ve X1 in x’e eĢit ya da daha küçük olması olasılığıdır.2Örnek:Düzgün altı yüzlü bir zar bir kez atılıyor Üste gelen yüzdeki noktaların sayısının olasılık fonksiyonunu ve birikimli olasılık fonksiyonunu bulunuz.Çözüm: Bu deney için örnek uzay:S={1,2,3,4,5,6}Zarın üst yüzüne gelen noktaların sayısını X ile gösterirsek X 1 den 6′ ya kadar herhangi bir tam sayı olacaktır. Örnek uzayda 6 örnek nokta vardır ve her biri 1/6 olasılıkla elde edildiğine göre X rasgele değiĢkenin olasılık fonksiyonu:
    X=x 1 2 3 4 5 6
    f(x)=P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

    Olasılık fonksiyonu1Kümülatif (birikimli) olasılık fonksiyonuKümülatif olasılık fonksiyonu:Örnek:X kesikli rasgele değiĢkeninin olasılık dağılımı3P(X =  1) = ½       P(X =  2) = 1/3       P(X = 4)=1/6Ģeklindedir. X in dağılım fonksiyonunu elde ediniz ve bu fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

İçeriği Paylaş:
İlginizi Çekebilir
Yorum Yapılmamış

Henüz Hiç Yorum Yapılmadı..

Yorum Yaz

Rasgele Değişkenler

Olasılık ve İstatistik

15/08/2017 | Yorum Yok | 101 | Mustafa Küçükakarsu